hello everyone here is the exercise Let $H$ be the Heaviside function $(H(x)=0$ if $x<0$ and $H(x)=1$ if $x>0)$, and $a, b, c$ real constants. We set $f_b(x)=H(x-b)$ and $g_c(x)=(x-c) H(x-c)$.
- Calculate $f_b^{\prime}$ and $g_c^{\prime}$ in the sense of distributions.
- Calculate in $\mathcal{D}^{\prime}(\mathbf{R})$ the convolution product $\delta_a^{\prime \prime} * \delta_b^{\prime}$.
- Calculate in $\mathcal{D}^{\prime}(\mathbf{R})$ the convolution products: $$ \delta_a * \delta_b * \delta_c, \quad \delta_a^{\prime \prime} * \delta_b^{\prime} * \delta_c, \quad f_b * g_c $$
- Compute convolution inverses (if well defined) $$ \delta_a * \delta_b, \quad \delta_a^{\prime} * \delta_b, \quad \delta_a^{\prime} * f_b $$ //////////////////////////////////////// here is my edit can someone tell me if it is right or not
- Calcul de $f_b'$ et $g_c'$ au sens des distributions: Pour calculer les dérivées des distributions $f_b(x)$ et $g_c(x)$, nous allons utiliser la définition de la dérivée d'une distribution. Soit $\varphi(x)$ une fonction test. a) Calcul de $f_b'$: $$\langle f_b', \varphi \rangle = -\langle f_b, \varphi' \rangle$$ $$\langle f_b', \varphi \rangle = -\int_{-\infty}^{\infty} f_b(x) \varphi'(x) dx$$ Pour $x < b$, $f_b(x) = 0$, donc l'intégrale est nulle. Pour $x > b$, $f_b(x) = 1$, donc l'intégrale devient: $$\langle f_b', \varphi \rangle = -\int_{b}^{\infty} \varphi'(x) dx$$ Par intégration par parties, nous obtenons: $$\langle f_b', \varphi \rangle = \varphi(b)$$ Donc, $f_b' = \delta_b$.
b) Calcul de $g_c'$: $$\langle g_c', \varphi \rangle = -\langle g_c, \varphi' \rangle$$ $$\langle g_c', \varphi \rangle = -\int_{-\infty}^{\infty} g_c(x) \varphi'(x) dx$$ Pour $x < c$, $g_c(x) = 0$, donc l'intégrale est nulle. Pour $x > c$, $g_c(x) = (x-c)$, donc l'intégrale devient: $$\langle g_c', \varphi \rangle = -\int_{c}^{\infty} (x-c)\varphi'(x) dx$$ Par intégration par parties, nous obtenons: $$\langle g_c', \varphi \rangle = -\int_{c}^{\infty} \varphi(x) dx$$ Donc, $g_c' = -\delta_c$.
Calcul du produit de convolution $\delta_a'' * \delta_b'$: $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = \langle \delta_a'', \delta_b' * \varphi \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = \langle \delta_a'', \delta_b'(\varphi') \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = -\langle \delta_a', \delta_b(\varphi') \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = -\langle \delta_a', -\delta_b'(\varphi) \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = \langle \delta_a', \delta_b'(\varphi) \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = -\langle \delta_b', \delta_a'(\varphi) \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = -\langle \delta_b', -\delta_a(\varphi') \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = \langle \delta_b', \delta_a(\varphi') \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = \langle \delta_a(\varphi'), \delta_b' \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = \langle \delta_a, \delta_b'(\varphi') \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = \langle \delta_a, -\delta_b(\varphi'') \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = -\langle \delta_a, \delta_b(\varphi'') \rangle$$ $$\langle \delta_a'' * \delta_b', \varphi \rangle = -\langle \delta_a * \delta_b, \varphi'' \rangle$$ Donc, $\delta_a'' * \delta_b' = -\delta_a * \delta_b''$.
Calcul des produits de convolution: a) $\delta_a * \delta_b * \delta_c$: $$\delta_a * \delta_b * \delta_c = \delta_a * (\delta_b * \delta_c)$$ Utilisons la propriété de l'associativité de la convolution: $$\delta_a * \delta_b * \delta_c = (\delta_a * \delta_b) * \delta_c$$ $$\delta_a * \delta_b * \delta_c = \delta_{a+b} * \delta_c$$ $$\delta_a * \delta_b * \delta_c = \delta_{a+b}(\delta_c)$$ $$\delta_a * \delta_b * \delta_c = \delta_{a+b}(c)$$ $$\delta_a * \delta_b * \delta_c = \delta_{a+b}(c) \quad \text{(La distribution de Dirac évalue la fonction en son argument)}$$ $$\delta_a * \delta_b * \delta_c = \delta_{a+b,c}$$
b) $\delta_a'' * \delta_b' * \delta_c$: $$\delta_a'' * \delta_b' * \delta_c = \delta_a'' * (\delta_b' * \delta_c)$$ Utilisons à nouveau la propriété de l'associativité de la convolution: $$\delta_a'' * \delta_b' * \delta_c = (\delta_a'' * \delta_b') * \delta_c$$ $$\delta_a'' * \delta_b' * \delta_c = (-\delta_a * \delta_b'') * \delta_c$$ Utilisons le résultat du point 2):
$$\delta_a'' * \delta_b' * \delta_c = \delta_a * \delta_b'' * \delta_c$$ Réutilisons la propriété de l'associativité de la convolution: $$\delta_a'' * \delta_b' * \delta_c = \delta_a * (\delta_b'' * \delta_c)$$ $$\delta_a'' * \delta_b' * \delta_c = \delta_a\delta_{b+c}$$ $$\delta_a'' * \delta_b' * \delta_c = \delta_a(\delta_{b+c})$$ $$\delta_a'' * \delta_b' * \delta_c = \delta_a(b+c)$$ $$\delta_a'' * \delta_b' * \delta_c = \delta_{a,b+c}$$
c) $f_b * g_c$: $$f_b * g_c = \int_{-\infty}^{\infty} f_b(x-y)g_c(y) dy$$ Pour $x < b$, $f_b(x-y) = 0$, donc l'intégrale est nulle. Pour $x > b$, $f_b(x-y) = 1$ et $g_c(y) = (y-c)$, donc l'intégrale devient: $$f_b * g_c = \int_{-\infty}^{\infty} (y-c) dy = \left[\frac{y^2}{2}-cy\right]_{\infty}^{\infty}$$ La valeur de cette intégrale est infinie, donc $f_b * g_c$ n'est pas une distribution régulière et n'appartient pas à $\mathcal{D}'(\mathbf{R})$.
- Calcul des inverses de convolution: a) $\delta_a * \delta_b$: $$\delta_a * \delta_b = \delta_{a+b}$$ Pour obtenir l'inverse de convolution, nous devons trouver une distribution $v$ telle que $\delta_{a+b} * v = v * \delta_{a+b} = \delta_0$. Cela implique que $v$ doit être la distribution de Dirac centrée en $-a-b$. Donc, l'inverse de convolution de $\delta_a * \delta_b$ est $\delta_{a-b}$.
b) $\delta_a' * \delta_b$: $$\delta_a' * \delta_b = -\delta_a * \delta_b'$$ Comme nous l'avons vu précédemment, l'inverse de convolution de $\delta_a * \delta_b'$ est $-\delta_{a+b}$. Donc, l'inverse de convolution de $\delta_a' * \delta_b$ est $-\delta_{a+b}$.
c) $\delta_a' * f_b$: $$\delta_a' * f_b = -\delta_a * f_b'$$ Nous avons calculé précédemment que $f_b' = \delta_b$. Donc, l'inverse de convolution de $\delta_a' * f_b$ est $-\delta_a * \delta_b$.