Calculate:
$$\det\begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & \cos\varphi & \sin\varphi \\ \cos2\varphi & \sin2\varphi & 2\cos2\varphi & 2\sin2\varphi \\ \cos3\varphi & \sin3\varphi & 3\cos3\varphi & 3\sin3\varphi \\ \cos4\varphi & \sin4\varphi & 4\cos4\varphi & 4\sin4\varphi \end{pmatrix} $$
By elementary row operation,it is equivalent to calculate $$\det\begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos2\varphi & \sin2\varphi \\ -\cos3\varphi & -\sin3\varphi & 2\cos3\varphi & 2\sin3\varphi \\ -2\cos4\varphi & -2\sin4\varphi & 3\cos4\varphi & 3\sin4\varphi \end{pmatrix} $$
Though this form is a bit more convenient for Laplace Expansion, it still requires a lot of effort to obtain the result.
Here's one way to do it: \begin{align*} & \begin{vmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & \cos\varphi & \sin\varphi \\ \cos2\varphi & \sin2\varphi & 2\cos2\varphi & 2\sin2\varphi \\ \cos3\varphi & \sin3\varphi & 3\cos3\varphi & 3\sin3\varphi \\ \cos4\varphi & \sin4\varphi & 4\cos4\varphi & 4\sin4\varphi \end{vmatrix} \\ = & \begin{vmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & \cos\varphi & \sin\varphi \\ 0 & \tan\varphi & \cos2\varphi & 2\sin2\varphi - \frac{\sin\varphi\cos2\varphi}{\cos\varphi} \\ \cos3\varphi & \sin3\varphi & 3\cos3\varphi & 3\sin3\varphi \\ \cos4\varphi & \sin4\varphi & 4\cos4\varphi & 4\sin4\varphi \end{vmatrix} \\ = & \begin{vmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & \cos\varphi & \sin\varphi \\ 0 & \tan\varphi & \cos2\varphi & 2\sin2\varphi - \frac{\sin\varphi\cos2\varphi}{\cos\varphi} \\ 0 & 2\sin\varphi & 2\cos3\varphi & 3\sin3\varphi - \frac{\cos3\varphi \sin\varphi}{\cos\varphi} \\ \cos4\varphi & \sin4\varphi & 4\cos4\varphi & 4\sin4\varphi \end{vmatrix} \\ = & \begin{vmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & \cos\varphi & \sin\varphi \\ 0 & \tan\varphi & \cos2\varphi & 2\sin2\varphi - \frac{\sin\varphi\cos2\varphi}{\cos\varphi} \\ 0 & 2\sin\varphi & 2\cos3\varphi & 3\sin3\varphi - \frac{\cos3\varphi \sin\varphi}{\cos\varphi} \\ 0 & \frac{\sin3\varphi}{\cos\varphi} & 3\cos4\varphi & 4\sin4\varphi - cos(4\varphi)\tan(x) \end{vmatrix} \\ = & \begin{vmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & \cos\varphi & \sin\varphi \\ 0 & \tan\varphi & \cos2\varphi & 2\sin2\varphi - \frac{\sin\varphi\cos2\varphi}{\cos\varphi} \\ 0 & 0 & -4\cos\varphi\sin^2\varphi & \sin3\varphi - \sin\varphi \\ 0 & \frac{\sin3\varphi}{\cos\varphi} & 3\cos4\varphi & 4\sin4\varphi - cos(4\varphi)\tan(x) \end{vmatrix} \\ = & \begin{vmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & \cos\varphi & \sin\varphi \\ 0 & \tan\varphi & \cos2\varphi & 2\sin2\varphi - \frac{\sin\varphi\cos2\varphi}{\cos\varphi} \\ 0 & 0 & -4\cos\varphi\sin^2\varphi & \sin3\varphi - \sin\varphi \\ 0 & 0 & -2 \sin^2\varphi (3 + 4 \cos2\varphi) & \sin2\varphi (4 \cos2\varphi - 1) \end{vmatrix} \\ = & \begin{vmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi & \cos\varphi & \sin\varphi \\ 0 & \tan\varphi & \cos2\varphi & 2\sin2\varphi - \frac{\sin\varphi\cos2\varphi}{\cos\varphi} \\ 0 & 0 & -4\cos\varphi\sin^2\varphi & \sin3\varphi - \sin\varphi \\ 0 & 0 &0 & -\tan\varphi \end{vmatrix} \\ = & 4 \tan^2\varphi \cos^2\varphi \sin^2\varphi = 4 \sin^4\varphi. \end{align*} While it looks very complicated, notice that all terms of rows 2 - 4, which are above the diagonal, don't really matter, so don't have to be computed explicitly.