Find $E$ : $\| x \|_1 \le E \| x \|_2 $

Question

$$\frac{\| x \|_1}{\| x \|_2} \le E$$

$$\frac{\| x \|_1}{\| x \|_2} \le \frac{n\| x \|_{\infty}}{\| x \|_2}$$

Considering :

$$\frac{\| x \|_{\infty}}{\| x \|_2} \le 1$$

Because:

$$\| x \|_{\infty} \le \cdots \le \| x \|_3 \le \| x \|_2 \le \| x \|_1 $$

So:

$$ \frac{n\| x \|_{\infty}}{\| x \|_2} \le n$$

$$E=n$$

Is it correct?

Thanks

Answer 1

Assume $x\in{\mathbb R}^n$. Then $$\|x\|_1=\sum_{i=1}^n 1\cdot |x_i|\leq\sqrt{\sum_{i=1}^n 1^2}\cdot\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}=\sqrt{n}\>\|x\|_2$$ with equality sign iff all $|x_i|$ are equal. The "optimal" value for $E$ therefore is $\sqrt{n}$.