$E$ est un $K-$espace vectoriel de dimension finie $n$ , et u $ \in L(E) $ et $\phi$ une application de $L(E)$ vers $L(E)$ et soit $\phi(v)=u \circ v$
Montrons que si $\lambda \in sp(u)$ alors $\lambda \in sp(\phi)$ ?
soit $\lambda$ une valeure propre de $u$ alors il existe un vecteur non nul de $E$ tel que $u(x)=\lambda x$
montrer que $\lambda$ est une valeur propre de $\phi$ est equivalent a montrer qu'il existe un endomorphisme $v$ de $L(E)$ telle que $\phi(v)=\lambda v$ plus précisement que pour tout $x \in E$ $\phi(v)(x)=\lambda v(x)$
si on a trouvé un tel endomorphisme alors $\lambda v(x)-(u\circ v) (x)=0$ donc $v(x) $ est un vecteur propre de $u$
l'application $v(x)=\lambda x$ si $x$ un vecteur propre de $u$ , $0$ sinon celle ci n'est pas lineaire.
Comment peut-on trouver un tel endomorphisme $v$ et quelle est sont interpretation matricielle ?
la version anglaise :
$ E$ is a $K- $ finite dimensional vector space$ $n$, and u $\ in L (E) $
and $\phi $ an application of $L (E) $ to $L (E) $
and let $\phi (v) = u \circ v $
Let's show that if $\lambda \in sp (u) $ then $\lambda \in sp (\phi) $?
is $\lambda $ an eigenvalue of $u $ so there is a non-zero vector of $ E $ such that $u (x) = \lambda x $
show that $\lambda $ is an eigenvalue of $\phi $ is equivalent to show that there is an endomorphism $v $ of $ L (E) $ such that $\phi (v) = \lambda v $
more precisely than for all $x \in E $ $ \phi (v) (x) = \lambda v (x)$
if we found such an endomorphism then $\lambda v (x) - (u \circ v) (x) = 0 $
so $v (x) $ is a proper vector of $u $
the application $v (x) = \lambda x $ if $ x$ an eigenvector of $u $, $0 $ otherwise
this one is not linear.
How can we find such an endomorphism $v $ and what is its matrix interpretation?
My french is pretty weak, but let's see: supppose $\;\lambda\;$ is an eigenvalue of $\;u\;$ , which means there exists $\;0\neq x\in E\;$ s.t. $\;ux=\lambda x\;$ .
Let us take now any basis $\;B\;$ of $\;E\;$ , and define
$$v\in\mathcal L(E)\;,\;\;v(b):=x\,,\,\,\forall\,b\in B$$
and extend to all $\;E\;$ the definition of $\;v\; $by linearity.
Then, for any $\;b\in B\;$ we get:
$$\phi v(b):=u\circ v(b)=u(v(b))=ux=\lambda x=\lambda vb\implies \lambda\in sp\{\phi\}\;$$ ...and voilá ! Or not, if I misunderstood the question...
By the way: observe that $\;v\neq 0\;$, meaning: $\;v\;$ is not the zero map...