Find all positive integers such that $n\phi(m)=m\phi(n)$ where $\phi$ is the Euler totient function.
I think that $n\phi(m)=m\phi(n)$ implies $n=m$ and that I should use prime factorization of n and m to show the $n=m$. So after writing n and m in their prime factorization I have: $n\phi(m)=m\phi(n) \Longleftrightarrow nm(\prod \limits_{i=1}^{k}(1-1/p_i)=mn(\prod\limits_{i=1}^{l}(1-1/q_i) \Longleftrightarrow\prod \limits_{i=1}^{k}(1-1/p_i) =\prod\limits_{i=1}^{l}(1-1/q_i)$
On
Your claim is false, but I can't quite tell if my modified version of it is always true:
$$m\phi(n) = n\phi(m) \iff {\rm rad}(m) = {\rm rad}(n)$$
where ${\rm rad}(k)$ is the radical of the integer, the square-free number that is divisible by every prime that divides $k$.
As a simple counterexample to the original claim, take $n=3, m=9$.
On
Sun May 6 12:29:02 PDT 2018
m : 2 Phi(m) 1 n : 4 Phi(n) 2
m : 2 Phi(m) 1 n : 8 Phi(n) 4
m : 4 Phi(m) 2 n : 8 Phi(n) 4
m : 3 Phi(m) 2 n : 9 Phi(n) 6
m : 6 Phi(m) 2 n : 12 Phi(n) 4
m : 2 Phi(m) 1 n : 16 Phi(n) 8
m : 4 Phi(m) 2 n : 16 Phi(n) 8
m : 8 Phi(m) 4 n : 16 Phi(n) 8
m : 6 Phi(m) 2 n : 18 Phi(n) 6
m : 12 Phi(m) 4 n : 18 Phi(n) 6
m : 10 Phi(m) 4 n : 20 Phi(n) 8
m : 6 Phi(m) 2 n : 24 Phi(n) 8
m : 12 Phi(m) 4 n : 24 Phi(n) 8
m : 18 Phi(m) 6 n : 24 Phi(n) 8
m : 5 Phi(m) 4 n : 25 Phi(n) 20
m : 3 Phi(m) 2 n : 27 Phi(n) 18
m : 9 Phi(m) 6 n : 27 Phi(n) 18
m : 14 Phi(m) 6 n : 28 Phi(n) 12
m : 2 Phi(m) 1 n : 32 Phi(n) 16
m : 4 Phi(m) 2 n : 32 Phi(n) 16
m : 8 Phi(m) 4 n : 32 Phi(n) 16
m : 16 Phi(m) 8 n : 32 Phi(n) 16
m : 6 Phi(m) 2 n : 36 Phi(n) 12
m : 12 Phi(m) 4 n : 36 Phi(n) 12
m : 18 Phi(m) 6 n : 36 Phi(n) 12
m : 24 Phi(m) 8 n : 36 Phi(n) 12
m : 10 Phi(m) 4 n : 40 Phi(n) 16
m : 20 Phi(m) 8 n : 40 Phi(n) 16
m : 22 Phi(m) 10 n : 44 Phi(n) 20
m : 15 Phi(m) 8 n : 45 Phi(n) 24
m : 6 Phi(m) 2 n : 48 Phi(n) 16
m : 12 Phi(m) 4 n : 48 Phi(n) 16
m : 18 Phi(m) 6 n : 48 Phi(n) 16
m : 24 Phi(m) 8 n : 48 Phi(n) 16
m : 36 Phi(m) 12 n : 48 Phi(n) 16
m : 7 Phi(m) 6 n : 49 Phi(n) 42
m : 10 Phi(m) 4 n : 50 Phi(n) 20
m : 20 Phi(m) 8 n : 50 Phi(n) 20
m : 40 Phi(m) 16 n : 50 Phi(n) 20
m : 26 Phi(m) 12 n : 52 Phi(n) 24
m : 6 Phi(m) 2 n : 54 Phi(n) 18
m : 12 Phi(m) 4 n : 54 Phi(n) 18
m : 18 Phi(m) 6 n : 54 Phi(n) 18
m : 24 Phi(m) 8 n : 54 Phi(n) 18
m : 36 Phi(m) 12 n : 54 Phi(n) 18
m : 48 Phi(m) 16 n : 54 Phi(n) 18
m : 14 Phi(m) 6 n : 56 Phi(n) 24
m : 28 Phi(m) 12 n : 56 Phi(n) 24
m : 30 Phi(m) 8 n : 60 Phi(n) 16
m : 21 Phi(m) 12 n : 63 Phi(n) 36
m : 2 Phi(m) 1 n : 64 Phi(n) 32
m : 4 Phi(m) 2 n : 64 Phi(n) 32
m : 8 Phi(m) 4 n : 64 Phi(n) 32
m : 16 Phi(m) 8 n : 64 Phi(n) 32
m : 32 Phi(m) 16 n : 64 Phi(n) 32
m : 34 Phi(m) 16 n : 68 Phi(n) 32
m : 6 Phi(m) 2 n : 72 Phi(n) 24
m : 12 Phi(m) 4 n : 72 Phi(n) 24
m : 18 Phi(m) 6 n : 72 Phi(n) 24
m : 24 Phi(m) 8 n : 72 Phi(n) 24
m : 36 Phi(m) 12 n : 72 Phi(n) 24
m : 48 Phi(m) 16 n : 72 Phi(n) 24
m : 54 Phi(m) 18 n : 72 Phi(n) 24
m : 15 Phi(m) 8 n : 75 Phi(n) 40
m : 45 Phi(m) 24 n : 75 Phi(n) 40
m : 38 Phi(m) 18 n : 76 Phi(n) 36
m : 10 Phi(m) 4 n : 80 Phi(n) 32
m : 20 Phi(m) 8 n : 80 Phi(n) 32
m : 40 Phi(m) 16 n : 80 Phi(n) 32
m : 50 Phi(m) 20 n : 80 Phi(n) 32
m : 3 Phi(m) 2 n : 81 Phi(n) 54
m : 9 Phi(m) 6 n : 81 Phi(n) 54
m : 27 Phi(m) 18 n : 81 Phi(n) 54
m : 42 Phi(m) 12 n : 84 Phi(n) 24
m : 22 Phi(m) 10 n : 88 Phi(n) 40
m : 44 Phi(m) 20 n : 88 Phi(n) 40
m : 30 Phi(m) 8 n : 90 Phi(n) 24
m : 60 Phi(m) 16 n : 90 Phi(n) 24
m : 46 Phi(m) 22 n : 92 Phi(n) 44
m : 6 Phi(m) 2 n : 96 Phi(n) 32
m : 12 Phi(m) 4 n : 96 Phi(n) 32
m : 18 Phi(m) 6 n : 96 Phi(n) 32
m : 24 Phi(m) 8 n : 96 Phi(n) 32
m : 36 Phi(m) 12 n : 96 Phi(n) 32
m : 48 Phi(m) 16 n : 96 Phi(n) 32
m : 54 Phi(m) 18 n : 96 Phi(n) 32
m : 72 Phi(m) 24 n : 96 Phi(n) 32
m : 14 Phi(m) 6 n : 98 Phi(n) 42
m : 28 Phi(m) 12 n : 98 Phi(n) 42
m : 56 Phi(m) 24 n : 98 Phi(n) 42
m : 33 Phi(m) 20 n : 99 Phi(n) 60
m : 10 Phi(m) 4 n : 100 Phi(n) 40
m : 20 Phi(m) 8 n : 100 Phi(n) 40
m : 40 Phi(m) 16 n : 100 Phi(n) 40
m : 50 Phi(m) 20 n : 100 Phi(n) 40
m : 80 Phi(m) 32 n : 100 Phi(n) 40
Sun May 6 12:29:02 PDT 2018
=============================================================================
Sun May 6 12:23:56 PDT 2018
m : 2 = 2 n : 4 = 2^2
m : 2 = 2 n : 8 = 2^3
m : 4 = 2^2 n : 8 = 2^3
m : 3 = 3 n : 9 = 3^2
m : 6 = 2 3 n : 12 = 2^2 3
m : 2 = 2 n : 16 = 2^4
m : 4 = 2^2 n : 16 = 2^4
m : 8 = 2^3 n : 16 = 2^4
m : 6 = 2 3 n : 18 = 2 3^2
m : 12 = 2^2 3 n : 18 = 2 3^2
m : 10 = 2 5 n : 20 = 2^2 5
m : 6 = 2 3 n : 24 = 2^3 3
m : 12 = 2^2 3 n : 24 = 2^3 3
m : 18 = 2 3^2 n : 24 = 2^3 3
m : 5 = 5 n : 25 = 5^2
m : 3 = 3 n : 27 = 3^3
m : 9 = 3^2 n : 27 = 3^3
m : 14 = 2 7 n : 28 = 2^2 7
m : 2 = 2 n : 32 = 2^5
m : 4 = 2^2 n : 32 = 2^5
m : 8 = 2^3 n : 32 = 2^5
m : 16 = 2^4 n : 32 = 2^5
m : 6 = 2 3 n : 36 = 2^2 3^2
m : 12 = 2^2 3 n : 36 = 2^2 3^2
m : 18 = 2 3^2 n : 36 = 2^2 3^2
m : 24 = 2^3 3 n : 36 = 2^2 3^2
m : 10 = 2 5 n : 40 = 2^3 5
m : 20 = 2^2 5 n : 40 = 2^3 5
m : 22 = 2 11 n : 44 = 2^2 11
m : 15 = 3 5 n : 45 = 3^2 5
m : 6 = 2 3 n : 48 = 2^4 3
m : 12 = 2^2 3 n : 48 = 2^4 3
m : 18 = 2 3^2 n : 48 = 2^4 3
m : 24 = 2^3 3 n : 48 = 2^4 3
m : 36 = 2^2 3^2 n : 48 = 2^4 3
m : 7 = 7 n : 49 = 7^2
m : 10 = 2 5 n : 50 = 2 5^2
m : 20 = 2^2 5 n : 50 = 2 5^2
m : 40 = 2^3 5 n : 50 = 2 5^2
m : 26 = 2 13 n : 52 = 2^2 13
m : 6 = 2 3 n : 54 = 2 3^3
m : 12 = 2^2 3 n : 54 = 2 3^3
m : 18 = 2 3^2 n : 54 = 2 3^3
m : 24 = 2^3 3 n : 54 = 2 3^3
m : 36 = 2^2 3^2 n : 54 = 2 3^3
m : 48 = 2^4 3 n : 54 = 2 3^3
m : 14 = 2 7 n : 56 = 2^3 7
m : 28 = 2^2 7 n : 56 = 2^3 7
m : 30 = 2 3 5 n : 60 = 2^2 3 5
m : 21 = 3 7 n : 63 = 3^2 7
m : 2 = 2 n : 64 = 2^6
m : 4 = 2^2 n : 64 = 2^6
m : 8 = 2^3 n : 64 = 2^6
m : 16 = 2^4 n : 64 = 2^6
m : 32 = 2^5 n : 64 = 2^6
m : 34 = 2 17 n : 68 = 2^2 17
m : 6 = 2 3 n : 72 = 2^3 3^2
m : 12 = 2^2 3 n : 72 = 2^3 3^2
m : 18 = 2 3^2 n : 72 = 2^3 3^2
m : 24 = 2^3 3 n : 72 = 2^3 3^2
m : 36 = 2^2 3^2 n : 72 = 2^3 3^2
m : 48 = 2^4 3 n : 72 = 2^3 3^2
m : 54 = 2 3^3 n : 72 = 2^3 3^2
m : 15 = 3 5 n : 75 = 3 5^2
m : 45 = 3^2 5 n : 75 = 3 5^2
m : 38 = 2 19 n : 76 = 2^2 19
m : 10 = 2 5 n : 80 = 2^4 5
m : 20 = 2^2 5 n : 80 = 2^4 5
m : 40 = 2^3 5 n : 80 = 2^4 5
m : 50 = 2 5^2 n : 80 = 2^4 5
m : 3 = 3 n : 81 = 3^4
m : 9 = 3^2 n : 81 = 3^4
m : 27 = 3^3 n : 81 = 3^4
m : 42 = 2 3 7 n : 84 = 2^2 3 7
m : 22 = 2 11 n : 88 = 2^3 11
m : 44 = 2^2 11 n : 88 = 2^3 11
m : 30 = 2 3 5 n : 90 = 2 3^2 5
m : 60 = 2^2 3 5 n : 90 = 2 3^2 5
m : 46 = 2 23 n : 92 = 2^2 23
m : 6 = 2 3 n : 96 = 2^5 3
m : 12 = 2^2 3 n : 96 = 2^5 3
m : 18 = 2 3^2 n : 96 = 2^5 3
m : 24 = 2^3 3 n : 96 = 2^5 3
m : 36 = 2^2 3^2 n : 96 = 2^5 3
m : 48 = 2^4 3 n : 96 = 2^5 3
m : 54 = 2 3^3 n : 96 = 2^5 3
m : 72 = 2^3 3^2 n : 96 = 2^5 3
m : 14 = 2 7 n : 98 = 2 7^2
m : 28 = 2^2 7 n : 98 = 2 7^2
m : 56 = 2^3 7 n : 98 = 2 7^2
m : 33 = 3 11 n : 99 = 3^2 11
m : 10 = 2 5 n : 100 = 2^2 5^2
m : 20 = 2^2 5 n : 100 = 2^2 5^2
m : 40 = 2^3 5 n : 100 = 2^2 5^2
m : 50 = 2 5^2 n : 100 = 2^2 5^2
m : 80 = 2^4 5 n : 100 = 2^2 5^2
Sun May 6 12:23:56 PDT 2018
Consider the equality $$\prod \limits_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i} =\prod\limits_{i=1}^{l}\frac{q_i-1}{q_i}$$ with $p_1<\ldots <p_k$. Since $p_k$ is in the denominator of the LHS, it must equal to one of the $q_i$. Divide on both sides by $\frac{p_k-1}{p_k}$ and repeat. We get that $k=l$ and $p_i$, $q_i$ are equal in some order. Therefore $\frac{\phi(m)}{m}=\frac{\phi(n)}{n}$ if and only if $m$, $n$ have the same factors