Operator norm of semigroup operator

Question

Let $P_{t}$ be a self-adjoint operator such that $P_{t+s}=P_{t}P_{s}$. I want to show that $$\|P_{t}\|_{1\to \infty}\leq \|P_{t/2}\|_{1\to 2}\|P_{t/2}\|_{2\to \infty}.$$ For that, I am trying to prove that $$\|P_{t}f\|_{\infty}\leq \|P_{t/2}\|_{1\to 2}\|P_{t/2}\|_{2\to \infty}\|f\|_{1}$$ using that
$$\|P_{t}f\|_{\infty}=\sup_{g}\frac{(P_{t}f, g)}{\|g\|_{1}}=\sup_{g}\frac{(P_{t/2}f, P_{t/2}g)}{\|g\|_{1}},$$ but then I am stuck. Can someone help?

Answer 1

Note that $\|Ax\|_{q} \leq \|A\|_{p \to q}\|x\|_p$. Thus, $$ \|P_tf\|_\infty = \|P_{t/2}(P_{t/2}f)\|_\infty \\ \leq \|P_{t/2}\|_{2 \to \infty} \|P_{t/2}f\|_2 \\ \leq \|P_{t/2}\|_{2 \to \infty} \|P_{t/2}\|_{1 \to 2} \|f\|_1 $$