Proof: If $ A \iota_N=0\Rightarrow A^{+'}\iota_N=0$

Question

I want to show that if $ A \iota_N=0\Rightarrow A^{+'}\iota_N=0$ where $A^+$ is the Pseudoinverse.

Answer 1

HINT: $A^+=A^+AA^+$ and $A^+A=(A^+A)^T$ give $A^+=(A^+A)^TA^+=A^T(A^+)^TA^+$, so $(A^+)^T=[A^T(A^+)^TA^+]^T=(A^+)^TA^+A.$

Answer 2

So, it must be \begin{align} (A^+)'\iota_N&=(A^+AA^+)'\iota_N\\ &=((A^+A)'A^+)'\iota_N\\ &=(A'(A^+)'A^+)'\iota_N\\ &=(A^+)'A^+)'A\iota_N\\ &=(A^+)'A^+)'0\\ &=0. \end{align}