Knowing that $\|x\|_\infty \le \|x\|_2\le \|x\|_1 \le \sqrt{n}.\|x\|_2\le n.\|x\|_\infty$. How can I demonstrate that $\|A\|_2\le\sqrt{n}.\|A\|_1$, $A\in\Bbb{R}^{m\times n}$?
The entire expression was $\frac{1}{\sqrt{m}}\|A\|_1\le\|A\|_2\le\sqrt{n}.\|A\|_1$. For the first part, I wrote $$\|A.x\|_2\ge\frac{1}{\sqrt{m}}\|A.x\|_1$$"$\frac{1}{\sqrt{n}}\|x\|_1 \le \|x\|_2$, for all $x\in\Bbb{R}^n$" $$ \max_{||x||_2=1}||A.x||_2 \ge\frac{1}{\sqrt{m}}.\max_{||x||_1=1}||A.x||_1 \Rightarrow \|A\|_2\ge\frac{1}{\sqrt{m}}.\|A\|_1$$ But I don't know how to do for the second part.
$$ \| Ax \|_2 \leq \| Ax \|_1 \leq \| A \|_1 \| x \|_1 \leq \| A \|_1 ( \sqrt{n} \| x \|_2 ) $$ yields, for $x \neq 0$, $$ \frac { \| Ax \|_2 }{ \| x \|_2} \leq \sqrt{n} \| A \|_1 $$ Now use the fact that the max is the smallest upper bound.