Riemann's genus???

Question

Could anyone provide me with Riemann's original definition of genus? It would be great if, apart from the definiton in English and some example he may have illustrated the notion with, you could also give me the original German definition (even as copy of the manuscript). Thanks in advance.

Answer 1

Riemann's result (and definition) of the genus of an abstract curve, i.e. a function field is as follows:

Für einen Funktionenkörper $K$ gibt es nur von $K$ abhängige natürliche Zahlen $g$ und $N$, so dass für beliebige Divisoren $D$ auf $K$ die Ungleichung $$ g ≥ \deg D + 1 − \dim L(D) $$ erfüllt ist und für alle Divisoren vom Grad mindestens $N$ Gleichheit gilt. Die natürliche Zahl $g$ wird als das Geschlecht des Funktionenkörpers $K$ bezeichnet.

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