Suppose $d>1$ is a natural number. I am trying to compute traces of products of $2^d \times 2^d$ matrices of the form Tr($A_{i,d}A_{j,d}\cdots A_{k,d}$) where $A_{i,d}$ are of the form: $$ A_{0,3}=\begin{bmatrix} 0&1&0&0&0&0&0&0\\ 1&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&1&0&1&0&0&0&0\\ 0&0&1&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&1&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&1\\ 0&0&0&0&0&0&1&0\\ \end{bmatrix} \qquad A_{1,3}=\begin{bmatrix} 0&0&1&1&0&0&0&0\\ 0&0&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&1&1&0&0\\ 1&1&0&0&1&1&0&0\\ 0&0&1&1&0&0&1&1\\ 0&0&1&1&0&0&1&1\\ 0&0&0&0&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&1&1&0&0\\ \end{bmatrix} \quad A_{2,3} = \begin{bmatrix} 0&0&0&0&1&1&1&1\\ 0&0&0&0&1&1&1&1\\ 0&0&0&0&1&1&1&1\\ 0&0&0&0&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&0&0&0&0\\ \end{bmatrix} \quad A_{3,3} = \begin{bmatrix} 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\ 1&1&1&1&1&1&1&1\\ \end{bmatrix} $$ I'm not sure how to proceed to compute the traces (looks difficult I think). However I thought that perhaps it's smart to look for decompositions $$A_{i,d} = \sum_m e_m E_m$$ So my question:
Does there exist subgroups of GL$(2^d)$ such that elements $\{E_j\}$ are orthonormal with respect to the inner product $\langle E_j,E_i \rangle = \mathrm{Tr}(E_jE_i)$ for all $i,j,d$?