In Clifford algebras over $\mathbb R$ you look at directions squaring to $-1$ or $+1$. Made me wonder: Why does not nature encode source information yet another way: $(\sqrt i)^2=i$ so that $i^4=j^4=-1$? Still keeping quaternions' associativity and chirality $ji=-ij$ so that $$i^vj^wi^mj^n=(-1)^{wm+\lfloor\frac{v+w}4\rfloor+\lfloor\frac{m+n}4\rfloor}i^{(v+m)\%4}j^{(w+n)\%4},$$I arrive at the following tetraquaternionic (name clash with Patrick Girard's!) multiplication table:
| $i^0j^0$ | $i^0j^1$ | $i^0j^2$ | $i^0j^3$ | $i^1j^0$ | $i^1j^1$ | $i^1j^2$ | $i^1j^3$ | $i^2j^0$ | $i^2j^1$ | $i^2j^2$ | $i^2j^3$ | $i^3j^0$ | $i^3j^1$ | $i^3j^2$ | $i^3j^3$ |
| $i^0j^1$ | $i^0j^2$ | $i^0j^3$ | $-i^0j^0$ | $-i^1j^1$ | $-i^1j^2$ | $-i^1j^3$ | $i^1j^0$ | $i^2j^1$ | $i^2j^2$ | $i^2j^3$ | $-i^2j^0$ | $-i^3j^1$ | $-i^3j^2$ | $-i^3j^3$ | $i^3j^0$ |
| $i^0j^2$ | $i^0j^3$ | $-i^0j^0$ | $-i^0j^1$ | $i^1j^2$ | $i^1j^3$ | $-i^1j^0$ | $-i^1j^1$ | $i^2j^2$ | $i^2j^3$ | $-i^2j^0$ | $-i^2j^1$ | $i^3j^2$ | $i^3j^3$ | $-i^3j^0$ | $-i^3j^1$ |
| $i^0j^3$ | $-i^0j^0$ | $-i^0j^1$ | $-i^0j^2$ | $-i^1j^3$ | $i^1j^0$ | $i^1j^1$ | $i^1j^2$ | $i^2j^3$ | $-i^2j^0$ | $-i^2j^1$ | $-i^2j^2$ | $-i^3j^3$ | $i^3j^0$ | $i^3j^1$ | $i^3j^2$ |
| $i^1j^0$ | $i^1j^1$ | $i^1j^2$ | $i^1j^3$ | $i^2j^0$ | $i^2j^1$ | $i^2j^2$ | $i^2j^3$ | $i^3j^0$ | $i^3j^1$ | $i^3j^2$ | $i^3j^3$ | $-i^0j^0$ | $-i^0j^1$ | $-i^0j^2$ | $-i^0j^3$ |
| $i^1j^1$ | $i^1j^2$ | $i^1j^3$ | $-i^1j^0$ | $-i^2j^1$ | $-i^2j^2$ | $-i^2j^3$ | $i^2j^0$ | $i^3j^1$ | $i^3j^2$ | $i^3j^3$ | $-i^3j^0$ | $i^0j^1$ | $i^0j^2$ | $i^0j^3$ | $-i^0j^0$ |
| $i^1j^2$ | $i^1j^3$ | $-i^1j^0$ | $-i^1j^1$ | $i^2j^2$ | $i^2j^3$ | $-i^2j^0$ | $-i^2j^1$ | $i^3j^2$ | $i^3j^3$ | $-i^3j^0$ | $-i^3j^1$ | $-i^0j^2$ | $-i^0j^3$ | $i^0j^0$ | $i^0j^1$ |
| $i^1j^3$ | $-i^1j^0$ | $-i^1j^1$ | $-i^1j^2$ | $-i^2j^3$ | $i^2j^0$ | $i^2j^1$ | $i^2j^2$ | $i^3j^3$ | $-i^3j^0$ | $-i^3j^1$ | $-i^3j^2$ | $i^0j^3$ | $-i^0j^0$ | $-i^0j^1$ | $-i^0j^2$ |
| $i^2j^0$ | $i^2j^1$ | $i^2j^2$ | $i^2j^3$ | $i^3j^0$ | $i^3j^1$ | $i^3j^2$ | $i^3j^3$ | $-i^0j^0$ | $-i^0j^1$ | $-i^0j^2$ | $-i^0j^3$ | $-i^1j^0$ | $-i^1j^1$ | $-i^1j^2$ | $-i^1j^3$ |
| $i^2j^1$ | $i^2j^2$ | $i^2j^3$ | $-i^2j^0$ | $-i^3j^1$ | $-i^3j^2$ | $-i^3j^3$ | $i^3j^0$ | $-i^0j^1$ | $-i^0j^2$ | $-i^0j^3$ | $i^0j^0$ | $i^1j^1$ | $i^1j^2$ | $i^1j^3$ | $-i^1j^0$ |
| $i^2j^2$ | $i^2j^3$ | $-i^2j^0$ | $-i^2j^1$ | $i^3j^2$ | $i^3j^3$ | $-i^3j^0$ | $-i^3j^1$ | $-i^0j^2$ | $-i^0j^3$ | $i^0j^0$ | $i^0j^1$ | $-i^1j^2$ | $-i^1j^3$ | $i^1j^0$ | $i^1j^1$ |
| $i^2j^3$ | $-i^2j^0$ | $-i^2j^1$ | $-i^2j^2$ | $-i^3j^3$ | $i^3j^0$ | $i^3j^1$ | $i^3j^2$ | $-i^0j^3$ | $i^0j^0$ | $i^0j^1$ | $i^0j^2$ | $i^1j^3$ | $-i^1j^0$ | $-i^1j^1$ | $-i^1j^2$ |
| $i^3j^0$ | $i^3j^1$ | $i^3j^2$ | $i^3j^3$ | $-i^0j^0$ | $-i^0j^1$ | $-i^0j^2$ | $-i^0j^3$ | $-i^1j^0$ | $-i^1j^1$ | $-i^1j^2$ | $-i^1j^3$ | $-i^2j^0$ | $-i^2j^1$ | $-i^2j^2$ | $-i^2j^3$ |
| $i^3j^1$ | $i^3j^2$ | $i^3j^3$ | $-i^3j^0$ | $i^0j^1$ | $i^0j^2$ | $i^0j^3$ | $-i^0j^0$ | $-i^1j^1$ | $-i^1j^2$ | $-i^1j^3$ | $i^1j^0$ | $i^2j^1$ | $i^2j^2$ | $i^2j^3$ | $-i^2j^0$ |
| $i^3j^2$ | $i^3j^3$ | $-i^3j^0$ | $-i^3j^1$ | $-i^0j^2$ | $-i^0j^3$ | $i^0j^0$ | $i^0j^1$ | $-i^1j^2$ | $-i^1j^3$ | $i^1j^0$ | $i^1j^1$ | $-i^2j^2$ | $-i^2j^3$ | $i^2j^0$ | $i^2j^1$ |
| $i^3j^3$ | $-i^3j^0$ | $-i^3j^1$ | $-i^3j^2$ | $i^0j^3$ | $-i^0j^0$ | $-i^0j^1$ | $-i^0j^2$ | $-i^1j^3$ | $i^1j^0$ | $i^1j^1$ | $i^1j^2$ | $i^2j^3$ | $-i^2j^0$ | $-i^2j^1$ | $-i^2j^2$ |
I am playing in a Zusean RechnenderRaum grid. I want to test if tetraquaternionically satisfying the quite Einsteinian-looking Maxwell difference equations $\{\delta,\{\delta,\omega\}\}+[\delta,[\delta,\omega]]$ thermomagnetically balancing decelerating mass and accelerating curvature magically spits out Schrödinger imaginary squares and Pythagorean square roots.
Question: With a neutral, and inverses for all 32 elements, $(T\cup-T,\cdot)$ seems to be a group. What is it named from the catalog of finite groups?
Please help me out with your insights and vocabulary!
This is the semidirect product of $\mathbb Z_8$ and $\mathbb Z_4$ of $M$-type.
The condition $G=\langle a,b\mid a^8=b^4=e,bab^{-1}=a^5\rangle$ is met by $$T\cup-T=\langle i, ij \mid i^8=1=(ij)^4,(ij)i(ij)^{-1}=(ij)i(-i^3j^3)=i^5\rangle.$$