Find the fourier coefficients $a_0$ and $a_n$ of $f(x)=x^2+1$
Could someone check my workings please:
$$a_{ 0 }=\frac { 1 }{ \pi } \int _{ -\pi }^{ \pi } f(x)dx=\frac { 1 }{ \pi } \int _{ -\pi }^{ \pi } \left( x^{ 2 }+1 \right) dx=\frac { 1 }{ \pi } \left[ \frac { x^{ 2 } }{ 2 } +x \right] _{ -\pi }^{ \pi }=\frac { 1 }{ \pi } \left[ \frac { \pi ^{ 3 } }{ 3 } +\pi +\frac { \pi ^{ 3 } }{ 3 } +\pi \right] =\frac { 1 }{ \pi } \left( \frac { 2\pi ^{ 3 } }{ 3 } +2\pi \right) =\frac { 2\pi ^{ 2 } }{ 3 } +2\\ $$
$$a_{ n }=\frac { 1 }{ \pi } \int _{ -\pi }^{ \pi } f(x)\cos (nx)dx=\frac { 1 }{ \pi } \int _{ -\pi }^{ \pi } (x^{ 2 }+1)\cos (nx)dx=\frac { 1 }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ n } \sin (nx)+\frac { x^{ 2 } }{ n } \sin (nx)-\int _{ -\pi }^{ \pi } \frac { 2x }{ n } \sin (nx)dx \right] \\=\frac { 1 }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ n } \sin (nx)+\frac { x^{ 2 } }{ n } \sin (nx)-\left( \frac { -2x }{ n^{ 2 } } \cos (nx)+\int _{ -\pi }^{ \pi } \frac { 2 }{ n^{ 2 } } \cos (nx)dx \right) \right] =\frac { 1 }{ \pi } \left[ \frac { 1 }{ n } \sin (nx)+\frac { x^{ 2 } }{ n } \sin (nx)+\frac { 2x }{ n^{ 2 } } \cos (nx)-\frac { 2 }{ n^{ 3 } } \sin (nx) \right] _{ -\pi }^{ \pi }=\frac { 1 }{ \pi } \left[ \frac { 2\pi }{ n^{ 2 } } \cos (n\pi )+\frac { 2\pi }{ n^{ 2 } } \cos (n(-\pi )) \right] =\frac { 4 }{ n^{ 2 } } (-1)^{ n }$$