How to show $\vdash (\neg\neg p \rightarrow p)$.

Question

Given these axioms: where $\phi, \psi, \theta$ are formulas

$$ 1.:(\psi \rightarrow (\theta \rightarrow \psi))$$ $$ 2.: ((\neg \psi \rightarrow \neg \theta) \rightarrow (\theta \rightarrow \psi))$$

And using the deduction theorem.

So I started with trying to show that $\neg\neg p \vdash p$ (so I can use deduction theorem later).

From this:

1.$\neg\neg p$ Assumption

2.$(\neg\neg p \rightarrow (\neg\neg p \rightarrow \neg \neg p))$ Axiom #1

3.$(\neg \neg p \rightarrow \neg \neg p)$ 1,2 MP.

4.$((\neg \neg p \rightarrow \neg \neg p) \rightarrow (\neg p \rightarrow \neg p))$ Axiom #2

5.$(\neg p \rightarrow \neg p)$ 3, 4 MP.

6.$((\neg p \rightarrow \neg p) \rightarrow (p \rightarrow p))$ Axiom #2

7.$(p\rightarrow p)$ 5,6 MP.

I'm stuck here though, I have no idea how to proceed any further... Any hints?

Answer 1

$$\neg \neg p \rightarrow (\neg \neg \neg \neg p \rightarrow \neg \neg p)$$ $$\neg \neg \neg \neg p \rightarrow \neg \neg p$$ $$(\neg \neg \neg \neg p \rightarrow \neg \neg p)\rightarrow (\neg p \rightarrow \neg \neg \neg p)$$ $$\neg p \rightarrow \neg \neg \neg p$$ $$(\neg p \rightarrow \neg \neg \neg p)\rightarrow (\neg\neg p \rightarrow p)$$ $$\neg\neg p \rightarrow p$$ $$p$$