Translate this proof from German to English

Question

I need your help to translate some exercises from German to English. I will attach like images. Thanks :)

Satz 3. Es sei $(X,d)$ ein ultrametrischer Raum. $X$ ist genau dann transvollständig, wenn jede kontrahierende Abbildung $A:X\to X$ einen (und dann auch genau einen) Fixpunkt in $X$ hat.

Beweis. 1) Sei $X$ transvollständig und $A:X\to X$ eine kontrahierende Abbildung. Wir gewinnen einen Fixpunkt für $A$ mit einer ähnlichen Idee, wie man in einem Körper von formalen Potenzreihen zu einem Element das Inverse als Pseudolimes einer geeigneten Folge bestimmen kann (vgl. $[8]$, S. $51$, Satz $3$).

Angenommen, $A$ hat keinen Fixpunkt in $X$. Dann ist $0\ne\Delta:=\{d(Ax,x):x\in X\}$. Die Menge $\Delta$ ist ohne kleinstes Element; denn ist $d(Ax,x)\in\Delta$, so erhält man mit $x':=Ax$, daß $d(Ax',x')\in\Delta$ und $d(Ax',x')=d(A(Ax),Ax)<d(Ax,x)$ ist. Es sei $\rho$ der Koinitialitätstyp von $\Delta$ und die Folge $(\pi_\delta)_{\delta<\rho}$ streng monoton fallend und koinitial in $\Delta$. Zu $\pi_\delta$ sei $x_\delta\in X$ mit $\pi_\delta=d(Ax_\delta,x_\delta)$ bestimmt. Wir zeigen, daß $(x_\delta)_{\delta<\rho}$ pseudokonvergent ist: Sei dafür $\alpha<\beta<\rho$. Wegen $d(x_\alpha,x_\beta)\le\max\{d(x_\alpha,Ax_\alpha),d(Ax_\alpha,Ax_\beta),d(Ax_\beta,x_\beta)\}$ erhält man bei Berücksichtigung von $d(x_\alpha,Ax_\alpha)=\pi_\alpha>\pi_\beta=d(Ax_\beta,x_\beta)$ und $d(Ax_\alpha,Ax_\beta)<d(x_\alpha,x_\beta)$ mit $(\text{D}_3')$, daß $d(x_\alpha,x_\beta)=\pi_\alpha$ ist. Folglich ist $(x_\delta)_{\delta<\rho}$ pseudokonvergent.

Sei $x\in X$ ein Pseudolimes von $(x_\delta)_{\delta<\rho}$. Wegen $d(Ax,x)\in\Delta$ und der Koinitialität von $(\pi_\delta)_{\delta<\rho}$ in $\Delta$ gibt es ein $\delta<\rho$ mit $\pi_\delta<d(Ax,x)$. Es ist $$d(Ax,x)\le\max\{d(Ax,Ax_\delta),d(Ax_\delta,x_\delta),d(x_\delta,x)\}\;,$$ woraus wegen $d(Ax,Ax_\delta)<d(x,x_\delta)=\pi_\delta$ und $d(Ax_\delta,x_\delta)=\pi_\delta$ weiter $d(Ax,x)\le\pi_\delta$ folgt, was jedoch der Wahl von $\delta$, nämlich $\pi_\delta<d(Ax,x)$, widerspricht.

Also ist $0\in\Delta$, und damit gibt es ein Element $x\in X$ mit $Ax=x$. Wäre auch $y\in X$ mit $y\ne x$ ein Fixpunkt von $A$, so wäre $d(Ax,Ay)=d(x,y)$, was wegen andererseits $d(Ax,Ay)<d(x,y)$ nicht möglich ist.

2) Sei nun vorausgesetzt, daß jede kontrahierende Abbildung von $X$ einen Fixpunkt in $X$ habe.

Angenommen, $X$ ist nicht transvollständig. Dann gibt es eine pseudokonvergente Folge $(a_\delta)_{\delta<\rho}$, $a_\delta\in X$, ohne Pseudolimes in $X$. Für $\pi_\delta:=d(a_\delta,a_{\delta+1})$ und $B_\delta:=B_{\pi_\delta}(a_\delta)$ gilt somit: $\bigcap_{\delta<\rho}B_\delta=\varnothing$. Wir definieren eine Abbildung $A:X\to X$. Zu $x\in X$ existiert eine kleinste Ordinalzahl $\delta<\rho$ mit $x\notin B_\delta$, es sei $Ax:=a_\delta$. Wegen $x\notin B_\delta$ und $Ax\in B_\delta$ ist $A$ ohne Fixpunkt in $X$. Wir zeigen, daß $A$ kontrahierend ist: Seien dafür $x,y\in X$ mit $x\ne y$, $Ax=a_\delta$, $\ldots$

Answer 1

In the translation below I’ve coined the term trans-complete to translate transvollständig; it apparently means that every transfinite sequence that is Cauchy in the generalized sense suitable to the (not necessarily real-valued) ultrametric is pseudo-convergent.

Theorem 3. Let $(X,d)$ be an ultrametric space. $X$ is then trans-complete exactly when each contractive mapping $A:X\to X$ has one (and then exactly one) fixed point in $X$

Proof. 1) Let $X$ be trans-complete and $A:X\to X$ a contractive mapping. We obtain a fixed point of $A$ with an idea similar to the way in which one can specify the inverse of an element in a field of formal power series as the pseudo-limit of a suitable sequence (cf. $[8]$, p. $51$, Theorem $3$).

Suppose that $A$ has no fixed point in $X$. Then $0\notin\Delta:=\{d(Ax,x):x\in X\}$. The set $\Delta$ has no smallest element; for if $d(Ax,x)\in\Delta$, we can set $x'=Ax$ to get $d(Ax',x')\in\Delta$ and $d(Ax',x')=d(A(Ax),Ax)<d(Ax,x)$. Let $\rho$ be the co-initiality of $\Delta$, and let $(x_\delta)_{\delta<\rho}$ be a strictly monotone decreasing sequence co-initial in $\Delta$. For each $\pi_\delta$ fix $x_\delta\in X$ with $\pi_\delta=d(Ax_\delta,x_\delta)$. We’ll show that $(x_\delta)_{\delta<\rho}$ is pseudo-convergent.

To this end let $\alpha<\beta<\rho$. Since $$d(x_\alpha,x_\beta)\le\max\{d(x_\alpha,Ax_\alpha),d(Ax_\alpha,Ax_\beta),d(Ax_\beta,x_\beta)\}\;,$$ $d(x_\alpha,Ax_\alpha)=\pi_\alpha>\pi_\beta=d(Ax_\beta,x_\beta)$, and $d(Ax_\alpha,Ax_\beta)<d(x_\alpha,x_\beta)$, we see that $d(x_\alpha,x_\beta)=\pi_\alpha$, and it follows that $(x_\delta)_{\delta<\rho}$ is pseudo-convergent.

Let $x\in X$ be a pseudo-limit of $(x_\delta)_{\delta<\rho}$. Since $d(Ax,x)\in\Delta$, and $(\pi_\delta)_{\delta<\rho}$ is co-initial in $\Delta$, there is a $\delta<\rho$ such that $\pi_\delta<d(Ax,x)$. We have

$$d(Ax,x)\le\max\{d(Ax,Ax_\delta),d(Ax_\delta,x_\delta),d(x_\delta,x\}\;,$$

and moreover $d(Ax,Ax_\delta)<d(x,x_\delta)=\pi_\delta$ and $d(Ax_\delta,x_\delta)=\pi_\delta$, so $d(Ax,x)\le\pi_\delta$, contradicting the choice of $\delta$.

Thus, $0\in\Delta$, and there is therefore an element $x\in X$ such that $Ax=x$. If there were also a fixed point $y$ of $A$ in $X$ with $y\ne x$, we’d have $d(Ax,Ay)=d(x,y)$, which is impossible, since $d(Ax,Ay)<d(x,y)$.

2) Now assume that every contractive mapping on $X$ has a fixed point in $X$.

Suppose that $X$ is not trans-complete. Then there is a pseudo-convergent sequence $(a_\delta)_{\delta<\rho}$, $a_\delta\in X$, without a pseudo-limit in $X$. If $\pi_\delta:=d(a_\delta,a_{\delta+1})$ and $B_\delta:=B_{\pi_\delta}(a_\delta)$, it follows that $\bigcap_{\delta<\rho}B_\delta=\varnothing$. We now define a mapping $A:X\to X$. For each $x\in X$ there is a smallest ordinal $\delta<\rho$ such that $x\notin B_\delta$, and we set $Ax:=a_\delta$. Then $x\notin B_\delta$ and $Ax\in B_\delta$, so $x$ is not a fixed point of $A$, and $A$ therefore has no fixed point in $X$. We now show that $A$ is contractive.

To this end let $x,y\in X$ with $x\ne y$, $Ax=a_\delta$, $\ldots$