Is this a valid proof of the chain rule?
$$\begin{align*} \lim_{a \to x} \frac{f(g(x)) -f(g(a))}{x - a} &= \lim_{a \to x} \frac{f(g(x)) -f(g(a))}{x - a} * \frac{g(x) - g(a)}{g(x)-g(a)}\\ &=\lim_{a \to x} \frac{g(x) - g(a)}{x - a} * \frac{f(g(x)) -f(g(a))}{g(x)-g(a)}\\ &=\lim_{a \to x} \frac{g(x) - g(a)}{x - a} * \lim_{a \to x}\frac{f(g(x)) -f(g(a))}{g(x)-g(a)}\\ &=g'(x)*\lim_{a \to x}\frac{f(g(x)) -f(g(a))}{g(x)-g(a)} \end{align*}$$ As $a \to x$, $g(a) \to g(x)$. Thus, $$\begin{align*} \lim_{a \to x}\frac{f(g(x)) -f(g(a))}{g(x)-g(a)} &= \lim_{g(a) \to g(x)}\frac{f(g(x)) -f(g(a))}{g(x)-g(a)} = f'(g(x))\\ \lim_{a \to x} \frac{f(g(x)) -f(g(a))}{x - a}&= g'(x)*f'(g(x)) \end{align*}$$