My last question on this was a bit of a dud. I would, at least, like confirmation that the polynomial $f$ below does, in fact, integrally represent all primes $p \equiv 1 \pmod 5,$ along with all squared primes $q^2$ when prime $q \equiv 4 \pmod 5.$ It is easy to show that the polynomial represents the product of any two numbers it represents. It is not hard to show that, for any represented number, we can adjust the quadruple $(w,x,y,z)$ so that $w,x,y,z \geq 0.$ If possible, confirm that all represented numbers (with $\gcd(w,x,y,z) = 1$ ) are the product of such primes (including $5$ itself) and such squares.
Let me find some jpegs...
In this $f$ I am going to demand $\gcd(w,x,y,z) = 1.$ $$ f(w,x,y,z) = \det( w I + x A + y A^2 + z A^3), $$ where $$ A = \left( \begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & -1 \end{array} \right), $$ or
x^4 + (-w + (-y - z))*x^3 + (w^2 + (-3*y + 2*z)*w + (y^2 + 2*z*y + z^2))*x^2 + (-w^3 + (2*y + 2*z)*w^2 + (2*y^2 - z*y - 3*z^2)*w + (-y^3 - 3*z*y^2 + 2*z^2*y - z^3))*x + (w^4 + (-y - z)*w^3 + (y^2 - 3*z*y + z^2)*w^2 + (-y^3 + 2*z*y^2 + 2*z^2*y - z^3)w + (y^4 - zy^3 + z^2*y^2 - z^3*y + z^4))
5 w 0 x 1 y 2 z 2 new record w+x+y+z = 5
11 w 0 x 0 y 1 z 2
31 w 1 x 1 y 1 z 3 new record w+x+y+z = 6
41 w 0 x 1 y 2 z 3
61 w 0 x 0 y 1 z 3
71 w 0 x 1 y 4 z 2 new record w+x+y+z = 7
101 w 1 x 1 y 4 z 2 new record w+x+y+z = 8
131 w 1 x 1 y 2 z 4
151 w 0 x 1 y 2 z 4
181 w 0 x 1 y 1 z 4
191 w 0 x 1 y 5 z 3 new record w+x+y+z = 9
211 w 2 x 2 y 2 z 5 new record w+x+y+z = 11
241 w 1 x 2 y 5 z 1
251 w 0 x 1 y 5 z 2
271 w 0 x 2 y 4 z 5
281 w 1 x 1 y 5 z 2
311 w 1 x 2 y 3 z 5
331 w 1 x 4 y 6 z 1 new record w+x+y+z = 12
401 w 0 x 1 y 2 z 5
421 w 0 x 0 y 3 z 5
431 w 1 x 2 y 6 z 2
461 w 0 x 1 y 1 z 5
491 w 2 x 3 y 6 z 1
521 w 0 x 0 y 1 z 5
541 w 0 x 2 y 5 z 6 new record w+x+y+z = 13
571 w 2 x 2 y 3 z 6
601 w 1 x 1 y 6 z 3
631 w 2 x 2 y 6 z 1
641 w 0 x 1 y 6 z 2
661 w 1 x 2 y 4 z 6
691 w 0 x 1 y 4 z 6
701 w 1 x 2 y 7 z 4 new record w+x+y+z = 14
751 w 1 x 1 y 3 z 6
761 w 2 x 3 y 7 z 2
811 w 1 x 4 y 7 z 1
821 w 2 x 4 y 7 z 1
881 w 0 x 1 y 2 z 6
911 w 2 x 2 y 7 z 3
941 w 0 x 1 y 7 z 5
971 w 1 x 2 y 7 z 2
991 w 0 x 1 y 1 z 6
1021 w 1 x 3 y 7 z 1
1031 w 2 x 2 y 2 z 7
1051 w 2 x 3 y 7 z 1
1061 w 2 x 6 y 8 z 1 new record w+x+y+z = 17
1091 w 2 x 3 y 8 z 4
1151 w 0 x 2 y 5 z 7
1171 w 1 x 1 y 7 z 4
1181 w 1 x 3 y 5 z 7
1201 w 1 x 1 y 7 z 3
1231 w 2 x 3 y 8 z 3
1291 w 0 x 1 y 5 z 7
1301 w 1 x 2 y 3 z 7
1321 w 1 x 2 y 2 z 7
1361 w 3 x 3 y 8 z 4 new record w+x+y+z = 18
1381 w 0 x 1 y 4 z 7
1451 w 3 x 5 y 8 z 1
1471 w 0 x 2 y 8 z 3
1481 w 1 x 1 y 2 z 7
1511 w 0 x 2 y 3 z 7
1531 w 0 x 1 y 3 z 7
1571 w 1 x 2 y 8 z 3
1601 w 0 x 3 y 7 z 8
1621 w 0 x 0 y 4 z 7
1721 w 0 x 1 y 8 z 5
1741 w 0 x 2 y 9 z 6
1801 w 3 x 4 y 8 z 1
1811 w 2 x 7 y 9 z 1 new record w+x+y+z = 19
1831 w 2 x 3 y 3 z 8
1861 w 0 x 1 y 8 z 4
1871 w 0 x 0 y 2 z 7
1901 w 1 x 2 y 8 z 2
1931 w 2 x 3 y 4 z 8
1951 w 3 x 4 y 9 z 3
2011 w 2 x 3 y 5 z 8
2081 w 1 x 1 y 8 z 4
2111 w 2 x 6 y 9 z 1
2131 w 1 x 4 y 9 z 2
2141 w 0 x 1 y 8 z 3
2161 w 3 x 6 y 9 z 1
2221 w 0 x 3 y 5 z 8
2251 w 1 x 7 y 9 z 1
2281 w 2 x 3 y 9 z 3
2311 w 3 x 3 y 9 z 4
2341 w 1 x 6 y 9 z 1
2351 w 1 x 2 y 9 z 6
2371 w 1 x 2 y 8 z 1
2381 w 1 x 2 y 2 z 8
2411 w 3 x 4 y 9 z 2
2441 w 1 x 1 y 8 z 2
2521 w 2 x 5 y 9 z 1
2531 w 0 x 1 y 8 z 2
2551 w 1 x 1 y 3 z 8
2591 w 1 x 6 y 10 z 2
2621 w 1 x 5 y 9 z 1
2671 w 0 x 2 y 3 z 8
2711 w 3 x 4 y 10 z 5 new record w+x+y+z = 22
2731 w 2 x 2 y 9 z 5
2741 w 0 x 1 y 3 z 8
2791 w 0 x 2 y 9 z 3
2801 w 1 x 1 y 1 z 8
2851 w 0 x 3 y 10 z 4
2861 w 3 x 4 y 5 z 9
2971 w 2 x 2 y 9 z 3
3001 w 0 x 0 y 3 z 8
3011 w 0 x 1 y 2 z 8
3041 w 2 x 4 y 10 z 3
3061 w 4 x 5 y 10 z 3
3121 w 3 x 4 y 9 z 1
3181 w 3 x 7 y 10 z 1
3191 w 2 x 3 y 4 z 9
3221 w 2 x 4 y 6 z 9
3251 w 4 x 4 y 10 z 5 new record w+x+y+z = 23
3271 w 2 x 3 y 5 z 9
3301 w 0 x 1 y 9 z 4
3331 w 1 x 3 y 6 z 9
3361 w 0 x 2 y 6 z 9
3371 w 1 x 2 y 9 z 2
3391 w 2 x 2 y 3 z 9
3461 w 2 x 2 y 4 z 9
3491 w 1 x 3 y 5 z 9
3511 w 1 x 3 y 9 z 1
3541 w 3 x 3 y 9 z 1
3571 w 2 x 2 y 5 z 9
3581 w 1 x 2 y 6 z 9
3631 w 1 x 3 y 4 z 9
3671 w 1 x 8 y 11 z 2
3691 w 0 x 2 y 5 z 9
3701 w 2 x 4 y 11 z 5
3761 w 4 x 5 y 10 z 2
3821 w 1 x 4 y 10 z 2
3851 w 4 x 4 y 5 z 10
3881 w 1 x 2 y 10 z 5
3911 w 2 x 3 y 10 z 3
3931 w 2 x 2 y 9 z 1
4001 w 1 x 2 y 2 z 9
4021 w 1 x 6 y 10 z 1
4051 w 0 x 3 y 11 z 5
4091 w 1 x 3 y 11 z 6
4111 w 3 x 4 y 4 z 10
4201 w 0 x 1 y 4 z 9
4211 w 3 x 4 y 11 z 6 new record w+x+y+z = 24
4231 w 1 x 1 y 3 z 9
4241 w 1 x 2 y 10 z 4
4261 w 4 x 5 y 11 z 4
4271 w 2 x 4 y 11 z 4
4391 w 0 x 3 y 8 z 10
4421 w 1 x 1 y 2 z 9
4441 w 0 x 0 y 5 z 9
4451 w 3 x 5 y 10 z 1
4481 w 1 x 5 y 10 z 1
4561 w 0 x 1 y 3 z 9
4591 w 3 x 6 y 11 z 2
4621 w 0 x 0 y 4 z 9
4651 w 5 x 5 y 5 z 11 new record w+x+y+z = 26
4691 w 3 x 3 y 5 z 10
4721 w 2 x 9 y 11 z 1
4751 w 3 x 3 y 10 z 2
4801 w 1 x 2 y 10 z 3
4831 w 0 x 2 y 11 z 8
4861 w 2 x 3 y 11 z 6
4871 w 2 x 2 y 10 z 3
4931 w 4 x 5 y 11 z 3
4951 w 1 x 4 y 7 z 10
5011 w 0 x 4 y 7 z 10
5021 w 0 x 3 y 11 z 4
5051 w 0 x 1 y 10 z 8
5081 w 0 x 2 y 7 z 10
5101 w 0 x 2 y 11 z 6
5171 w 2 x 3 y 6 z 10
5231 w 1 x 3 y 11 z 4
5261 w 4 x 4 y 4 z 11
5281 w 1 x 4 y 6 z 10
5351 w 1 x 5 y 11 z 2
5381 w 1 x 1 y 10 z 5
5431 w 2 x 2 y 3 z 10
5441 w 3 x 4 y 11 z 3
5471 w 2 x 7 y 11 z 1
5501 w 1 x 3 y 5 z 10
5521 w 3 x 5 y 11 z 2
5531 w 2 x 2 y 5 z 10
5581 w 3 x 3 y 11 z 6
5591 w 1 x 2 y 6 z 10
5641 w 3 x 3 y 10 z 1
5651 w 4 x 7 y 11 z 1
5701 w 1 x 3 y 4 z 10
5711 w 4 x 5 y 12 z 6 new record w+x+y+z = 27
5741 w 1 x 9 y 12 z 2
5791 w 1 x 8 y 11 z 1
5801 w 4 x 4 y 5 z 11
5821 w 1 x 2 y 11 z 7
5851 w 1 x 3 y 3 z 10
5861 w 4 x 4 y 11 z 3
5881 w 0 x 1 y 6 z 10
5981 w 4 x 5 y 12 z 5
6011 w 2 x 4 y 12 z 5
6091 w 3 x 10 y 12 z 1
6101 w 4 x 5 y 6 z 11
6121 w 0 x 1 y 10 z 3
6131 w 1 x 2 y 3 z 10
6151 w 1 x 3 y 12 z 7
6211 w 0 x 1 y 5 z 10
6221 w 3 x 7 y 12 z 2
6271 w 1 x 1 y 6 z 10
6301 w 2 x 3 y 11 z 3
6311 w 1 x 4 y 11 z 2
6361 w 3 x 4 y 12 z 7
6421 w 1 x 1 y 4 z 10
6451 w 0 x 3 y 4 z 10
6481 w 0 x 3 y 9 z 11
6491 w 1 x 6 y 11 z 1
6521 w 1 x 2 y 10 z 1
6551 w 4 x 6 y 11 z 1
6571 w 2 x 2 y 11 z 6
6581 w 1 x 5 y 12 z 3
6661 w 5 x 5 y 12 z 6 new record w+x+y+z = 28
6691 w 2 x 5 y 12 z 3
6701 w 3 x 4 y 12 z 5
6761 w 3 x 3 y 4 z 11
6781 w 1 x 2 y 11 z 4
6791 w 4 x 4 y 11 z 2
6841 w 5 x 5 y 5 z 12
6871 w 0 x 3 y 3 z 10
6911 w 3 x 4 y 6 z 11
6961 w 0 x 3 y 8 z 11
6971 w 1 x 1 y 2 z 10
6991 w 3 x 5 y 7 z 11
7001 w 2 x 2 y 11 z 4
7121 w 1 x 4 y 8 z 11
7151 w 3 x 9 y 13 z 2
7211 w 5 x 6 y 11 z 1
7321 w 2 x 3 y 11 z 2
7331 w 2 x 9 y 12 z 1
7351 w 2 x 4 y 4 z 11
7411 w 1 x 3 y 11 z 2
7451 w 0 x 2 y 12 z 7
7481 w 3 x 8 y 12 z 1
7541 w 1 x 4 y 7 z 11
7561 w 0 x 5 y 11 z 12
7591 w 2 x 2 y 11 z 3
7621 w 2 x 3 y 3 z 11
7681 w 2 x 3 y 5 z 11
7691 w 1 x 3 y 7 z 11
7741 w 0 x 1 y 2 z 10
7841 w 0 x 1 y 11 z 9
7901 w 2 x 4 y 13 z 7
7951 w 1 x 4 y 6 z 11
8011 w 3 x 5 y 13 z 5
8081 w 4 x 5 y 5 z 12
8101 w 0 x 3 y 13 z 7
8111 w 2 x 4 y 12 z 3
8161 w 0 x 3 y 12 z 4
8171 w 1 x 1 y 11 z 5
8191 w 4 x 6 y 13 z 4
8221 w 5 x 8 y 12 z 1
8231 w 4 x 5 y 13 z 7 new record w+x+y+z = 29
8291 w 1 x 4 y 5 z 11
8311 w 2 x 2 y 3 z 11
8431 w 2 x 2 y 2 z 11
8461 w 3 x 7 y 12 z 1
8501 w 6 x 7 y 12 z 2
8521 w 0 x 1 y 11 z 4
8581 w 3 x 5 y 12 z 2
8641 w 1 x 9 y 12 z 1
8681 w 1 x 4 y 13 z 5
8731 w 1 x 6 y 13 z 3
8741 w 1 x 8 y 12 z 1
8761 w 4 x 7 y 12 z 1
8821 w 4 x 4 y 12 z 3
8831 w 1 x 3 y 3 z 11
8861 w 1 x 2 y 12 z 6
8941 w 3 x 3 y 12 z 4
8951 w 1 x 2 y 4 z 11
8971 w 4 x 10 y 13 z 1
9001 w 0 x 3 y 5 z 11
9011 w 4 x 5 y 12 z 2
9041 w 1 x 9 y 14 z 3
9091 w 0 x 0 y 1 z 10
9151 w 3 x 4 y 13 z 7
9161 w 5 x 10 y 13 z 1
9181 w 5 x 6 y 13 z 4
9221 w 1 x 1 y 11 z 3
9241 w 1 x 1 y 6 z 11
9281 w 1 x 2 y 3 z 11
9311 w 1 x 2 y 12 z 9
9341 w 3 x 4 y 13 z 8
9371 w 1 x 1 y 5 z 11
9391 w 3 x 4 y 13 z 6
9421 w 3 x 10 y 13 z 1
9431 w 0 x 1 y 5 z 11
9461 w 5 x 5 y 13 z 6
9491 w 1 x 4 y 14 z 8
9511 w 3 x 6 y 12 z 1
9521 w 2 x 6 y 12 z 1
9551 w 2 x 2 y 11 z 1
9601 w 2 x 8 y 14 z 3
9631 w 1 x 3 y 12 z 3
9661 w 2 x 2 y 12 z 7
9721 w 2 x 7 y 13 z 2
9781 w 0 x 5 y 9 z 12
9791 w 3 x 4 y 12 z 2
9811 w 1 x 4 y 12 z 2
9851 w 3 x 10 y 14 z 2
9871 w 4 x 6 y 12 z 1
9901 w 2 x 2 y 12 z 5
9931 w 0 x 0 y 6 z 11
9941 w 3 x 5 y 7 z 12
10061 w 0 x 1 y 4 z 11
10091 w 1 x 8 y 14 z 3
10111 w 2 x 5 y 9 z 12
10141 w 3 x 5 y 8 z 12
10151 w 3 x 5 y 14 z 7
10181 w 1 x 7 y 13 z 2
10211 w 4 x 7 y 13 z 2
10271 w 1 x 4 y 14 z 7
10301 w 0 x 1 y 12 z 8
10321 w 4 x 4 y 13 z 7
10331 w 1 x 2 y 12 z 4
10391 w 2 x 5 y 13 z 3
10501 w 0 x 3 y 8 z 12
10531 w 6 x 7 y 12 z 1
10601 w 1 x 5 y 8 z 12
10631 w 2 x 11 y 13 z 1
10651 w 0 x 2 y 13 z 8
10691 w 0 x 3 y 13 z 5
10711 w 0 x 2 y 9 z 12
10771 w 2 x 4 y 5 z 12
10781 w 4 x 4 y 13 z 5
10831 w 3 x 5 y 14 z 6
10861 w 5 x 5 y 6 z 13
10891 w 0 x 1 y 12 z 6
Tue May 16 18:02:32 PDT 2017
====================================================
Appears we can also represent $q^2$ where prime $q \equiv 4 \pmod 5$
361 = 19^2 w 0 x 1 y 5 z 1 new record w+x+y+z = 7
841 = 29^2 w 0 x 1 y 6 z 1 new record w+x+y+z = 8
3481 = 59^2 w 0 x 2 y 9 z 2 new record w+x+y+z = 13
6241 = 79^2 w 0 x 3 y 11 z 3 new record w+x+y+z = 17
7921 = 89^2 w 0 x 1 y 10 z 1
11881 = 109^2 w 0 x 1 y 11 z 1
19321 = 139^2 w 0 x 2 y 13 z 2
22201 = 149^2 w 0 x 4 y 15 z 4 new record w+x+y+z = 23
32041 = 179^2 w 0 x 5 y 17 z 5 new record w+x+y+z = 27
39601 = 199^2 w 0 x 3 y 16 z 3
52441 = 229^2 w 0 x 3 y 17 z 3
57121 = 239^2 w 0 x 1 y 16 z 1
72361 = 269^2 w 0 x 4 y 19 z 4
121801 = 349^2 w 0 x 5 y 22 z 5 new record w+x+y+z = 32
128881 = 359^2 w 0 x 7 y 24 z 7 new record w+x+y+z = 38
143641 = 379^2 w 0 x 1 y 20 z 1
151321 = 389^2 w 0 x 5 y 23 z 5
167281 = 409^2 w 0 x 3 y 22 z 3
175561 = 419^2 w 0 x 1 y 21 z 1
192721 = 439^2 w 0 x 6 y 25 z 6
201601 = 449^2 w 0 x 8 y 27 z 8 new record w+x+y+z = 43
229441 = 479^2 w 0 x 2 y 23 z 2
249001 = 499^2 w 0 x 9 y 29 z 9 new record w+x+y+z = 47
259081 = 509^2 w 0 x 4 y 25 z 4
323761 = 569^2 w 0 x 5 y 27 z 5
358801 = 599^2 w 0 x 1 y 25 z 1
383161 = 619^2 w 0 x 5 y 28 z 5
434281 = 659^2 w 0 x 10 y 33 z 10 new record w+x+y+z = 53
502681 = 709^2 w 0 x 4 y 29 z 4
516961 = 719^2 w 0 x 11 y 35 z 11 new record w+x+y+z = 57
546121 = 739^2 w 0 x 6 y 31 z 6
591361 = 769^2 w 0 x 9 y 34 z 9
654481 = 809^2 w 0 x 7 y 33 z 7
687241 = 829^2 w 0 x 9 y 35 z 9
703921 = 839^2 w 0 x 5 y 32 z 5
737881 = 859^2 w 0 x 3 y 31 z 3
844561 = 919^2 w 0 x 3 y 32 z 3
863041 = 929^2 w 0 x 1 y 31 z 1
1018081 = 1009^2 w 0 x 8 y 37 z 8
1038361 = 1019^2 w 0 x 2 y 33 z 2
1079521 = 1039^2 w 0 x 11 y 40 z 11 new record w+x+y+z = 62
1100401 = 1049^2 w 0 x 13 y 42 z 13 new record w+x+y+z = 68
1142761 = 1069^2 w 0 x 4 y 35 z 4
1229881 = 1109^2 w 0 x 11 y 41 z 11
1274641 = 1129^2 w 0 x 7 y 38 z 7
1510441 = 1229^2 w 0 x 5 y 38 z 5
1560001 = 1249^2 w 0 x 3 y 37 z 3
1585081 = 1259^2 w 0 x 1 y 36 z 1
1635841 = 1279^2 w 0 x 15 y 47 z 15 new record w+x+y+z = 77
1661521 = 1289^2 w 0 x 8 y 41 z 8
1739761 = 1319^2 w 0 x 10 y 43 z 10
1957201 = 1399^2 w 0 x 6 y 41 z 6
1985281 = 1409^2 w 0 x 11 y 45 z 11
2042041 = 1429^2 w 0 x 13 y 47 z 13
2070721 = 1439^2 w 0 x 2 y 39 z 2
2128681 = 1459^2 w 0 x 9 y 44 z 9
2217121 = 1489^2 w 0 x 11 y 46 z 11
2247001 = 1499^2 w 0 x 7 y 43 z 7
2399401 = 1549^2 w 0 x 3 y 41 z 3
2430481 = 1559^2 w 0 x 1 y 40 z 1
2493241 = 1579^2 w 0 x 7 y 44 z 7
2588881 = 1609^2 w 0 x 5 y 43 z 5
2621161 = 1619^2 w 0 x 17 y 53 z 17 new record w+x+y+z = 87
2785561 = 1669^2 w 0 x 12 y 49 z 12
2886601 = 1699^2 w 0 x 15 y 52 z 15
2920681 = 1709^2 w 0 x 17 y 54 z 17 new record w+x+y+z = 88
3094081 = 1759^2 w 0 x 2 y 43 z 2
3200521 = 1789^2 w 0 x 15 y 53 z 15
3530641 = 1879^2 w 0 x 9 y 49 z 9
3568321 = 1889^2 w 0 x 16 y 55 z 16
3798601 = 1949^2 w 0 x 5 y 47 z 5
3916441 = 1979^2 w 0 x 1 y 45 z 1
3996001 = 1999^2 w 0 x 19 y 59 z 19 new record w+x+y+z = 97
4116841 = 2029^2 w 0 x 12 y 53 z 12
4157521 = 2039^2 w 0 x 5 y 48 z 5
4280761 = 2069^2 w 0 x 1 y 46 z 1
4363921 = 2089^2 w 0 x 17 y 58 z 17
4405801 = 2099^2 w 0 x 19 y 60 z 19 new record w+x+y+z = 98
4532641 = 2129^2 w 0 x 8 y 51 z 8
4748041 = 2179^2 w 0 x 10 y 53 z 10
=======================
? p = 1
%8 = 1
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%9 =
[Mod(1, 2)*x^4 + Mod(1, 2)*x^3 + Mod(1, 2)*x^2 + Mod(1, 2)*x + Mod(1, 2) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%10 =
[Mod(1, 3)*x^4 + Mod(1, 3)*x^3 + Mod(1, 3)*x^2 + Mod(1, 3)*x + Mod(1, 3) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%11 =
[Mod(1, 5)*x + Mod(4, 5) 4]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%12 =
[Mod(1, 7)*x^4 + Mod(1, 7)*x^3 + Mod(1, 7)*x^2 + Mod(1, 7)*x + Mod(1, 7) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%13 =
[Mod(1, 11)*x + Mod(2, 11) 1]
[Mod(1, 11)*x + Mod(6, 11) 1]
[Mod(1, 11)*x + Mod(7, 11) 1]
[Mod(1, 11)*x + Mod(8, 11) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%14 =
[Mod(1, 13)*x^4 + Mod(1, 13)*x^3 + Mod(1, 13)*x^2 + Mod(1, 13)*x + Mod(1, 13) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%15 =
[Mod(1, 17)*x^4 + Mod(1, 17)*x^3 + Mod(1, 17)*x^2 + Mod(1, 17)*x + Mod(1, 17) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%16 =
[Mod(1, 19)*x^2 + Mod(5, 19)*x + Mod(1, 19) 1]
[Mod(1, 19)*x^2 + Mod(15, 19)*x + Mod(1, 19) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%17 =
[Mod(1, 23)*x^4 + Mod(1, 23)*x^3 + Mod(1, 23)*x^2 + Mod(1, 23)*x + Mod(1, 23) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%18 =
[Mod(1, 29)*x^2 + Mod(6, 29)*x + Mod(1, 29) 1]
[Mod(1, 29)*x^2 + Mod(24, 29)*x + Mod(1, 29) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%19 =
[Mod(1, 31)*x + Mod(15, 31) 1]
[Mod(1, 31)*x + Mod(23, 31) 1]
[Mod(1, 31)*x + Mod(27, 31) 1]
[Mod(1, 31)*x + Mod(29, 31) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%20 =
[Mod(1, 37)*x^4 + Mod(1, 37)*x^3 + Mod(1, 37)*x^2 + Mod(1, 37)*x + Mod(1, 37) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%21 =
[Mod(1, 41)*x + Mod(4, 41) 1]
[Mod(1, 41)*x + Mod(23, 41) 1]
[Mod(1, 41)*x + Mod(25, 41) 1]
[Mod(1, 41)*x + Mod(31, 41) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%22 =
[Mod(1, 43)*x^4 + Mod(1, 43)*x^3 + Mod(1, 43)*x^2 + Mod(1, 43)*x + Mod(1, 43) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%23 =
[Mod(1, 47)*x^4 + Mod(1, 47)*x^3 + Mod(1, 47)*x^2 + Mod(1, 47)*x + Mod(1, 47) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%24 =
[Mod(1, 53)*x^4 + Mod(1, 53)*x^3 + Mod(1, 53)*x^2 + Mod(1, 53)*x + Mod(1, 53) 1]
? p = nextprime(1 + p); factormod( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, p )
%25 =
[Mod(1, 59)*x^2 + Mod(26, 59)*x + Mod(1, 59) 1]
[Mod(1, 59)*x^2 + Mod(34, 59)*x + Mod(1, 59) 1]
==================
Since $$f(w,x,y,z) = N_{\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q}}(w + x \zeta + y \zeta^2 + z \zeta^3),$$ and since $\mathbb{Z}[\zeta_5]$ is a principal ideal domain, it is enough to show that all primes $p \equiv 1 (5)$ split completely in $\mathbb{Q}(\zeta_5)$. This is true and it follows from the fact that $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$ contains all of the fifth roots of unity, for such primes $p$.
The converse is sort of true in the sense that the only primes represented are either $5$ or $p \equiv 1 \, (5).$ Of course you can also represent numbers such as $16 = \mathrm{det}(2I)$ but I guess you want to exclude that.