Compute homology and cohomology groups knowing homology groups with integer coefficients.

Question

I'm working on this problem: Let $X$ be a space and suppose that $H_0(X;\mathbb {Z})\cong \mathbb {Z}$, $H_1(X;\mathbb{Z})\cong H_2(X;\mathbb {Z})\cong\mathbb {Z}\oplus\mathbb {Z}/6\mathbb {Z}$, $H_3(X;\mathbb {Z})\cong \mathbb {Z}$ and $H_i(X;\mathbb {Z})=0$ for $i>3$. Compute $H_i(X;\mathbb {Z}/2\mathbb {Z})$, $H^i(X;\mathbb {Z})$, $H^i(X;\mathbb {Z}/2\mathbb {Z})$ for all $i$.

The daunting thing about this kind of problem is that there is no way to check if the solution is correct or not. Here is my solution. Can you help me check it?

1. $H_i(X;\mathbb {Z}/2\mathbb {Z}):$ By the UCT,$$ H_i(X,\mathbb{Z}/2\mathbb {Z})\cong (H_i(X,\mathbb {Z})\otimes \mathbb {Z}/2\mathbb {Z} ) \oplus Tor(H_{i-1}(X,\mathbb {Z}),\mathbb {Z}/2\mathbb {Z}). $$ Hence \begin{align*} H_0(X,\mathbb{Z}/2\mathbb {Z})&\cong (\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z}/2\mathbb {Z} ) \oplus Tor(0,\mathbb {Z}/2\mathbb {Z}) \cong \mathbb {Z}/2\mathbb {Z},\\ H_1(X,\mathbb{Z}/2\mathbb {Z})&\cong ((\mathbb {Z} \oplus\mathbb {Z}/6\mathbb {Z}) \otimes \mathbb {Z}/2\mathbb {Z} ) \oplus Tor(\mathbb {Z},\mathbb {Z}/2\mathbb {Z}) \\ & \cong \mathbb {Z}/2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}/2\mathbb {Z} \oplus 0\\ &\cong (\mathbb {Z}/2\mathbb {Z})^2,\\ H_2(X,\mathbb{Z}/2\mathbb {Z})&\cong ((\mathbb {Z} \oplus\mathbb {Z}/6\mathbb {Z}) \otimes \mathbb {Z}/2\mathbb {Z} ) \oplus Tor(\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}/6\mathbb {Z},\mathbb {Z}/2\mathbb {Z})\\ & \cong \mathbb {Z}/2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}/2\mathbb {Z} \oplus (0\oplus \mathbb {Z}/2\mathbb {Z})\\ &\cong (\mathbb {Z}/2\mathbb {Z})^3,\\ H_3(X,\mathbb{Z}/2\mathbb {Z})&\cong (\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z}/2\mathbb {Z} ) \oplus Tor(\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}/6\mathbb {Z},\mathbb {Z}/2\mathbb {Z})\\ & \cong \mathbb {Z}/2\mathbb {Z} \oplus (0\oplus \mathbb {Z}/2\mathbb {Z})\\ &\cong (\mathbb {Z}/2\mathbb {Z})^2,\\ H_i(X,\mathbb{Z}/2\Z)&=0 \end{align*} for $i\geq 4$.

2. $H^i(X;\mathbb {Z}):$ By the UCT, [ H^i(X,\mathbb {Z})\cong Hom(H_i(X,\mathbb {Z}),\mathbb {Z})\oplus Ext(H_{i-1}(X,\mathbb {Z}),\mathbb {Z}). ] Hence \begin{align*} H^0(X,\mathbb {Z})&\cong Hom(\mathbb {Z},\mathbb {Z})\oplus Ext(0,\mathbb {Z})\\ &\cong \mathbb {Z},\\ H^1(X,\mathbb {Z})&\cong Hom(\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}/6\mathbb {Z},\mathbb {Z})\oplus Ext(\mathbb {Z},\mathbb {Z})\\ &\cong (\mathbb {Z}\oplus 0) \oplus 0\\ &\cong \mathbb {Z},\\ H^2(X,\mathbb {Z})&\cong Hom(\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}/6\mathbb {Z},\mathbb {Z})\oplus Ext(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}/6\mathbb {Z},\mathbb {Z})\\ &\cong (\mathbb {Z}\oplus 0) \oplus (0\oplus \mathbb {Z}/6\mathbb {Z})\\ &\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}/6\mathbb {Z},\\ H^3(X,\mathbb {Z})&\cong Hom(\mathbb {Z},\mathbb {Z})\oplus Ext(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}/6\mathbb {Z},\mathbb {Z})\\ &\cong (\mathbb {Z}) \oplus (0\oplus \mathbb {Z}/6\mathbb {Z})\\ &\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}/6\mathbb {Z},\\ H^i(X,\mathbb {Z})&\cong 0 \end{align*} for $i\geq 4$.