$$ \theta_{} \leq \pi/2 $$
$~ H_{x} ~$ can be positive or negative but $~ H_{y} ~$ can be assumed which takes only upward vertical value.
$$ \tan \left( \theta_{} \right) = \frac{ H_{x} }{ H_{y} } = \frac{ \left( M_{1}-M_{2} \right) }{ \left( M_{1}+M_{2} \right) } $$
The problem has been provoked from the below equation.
$$ \therefore ~~ \left| \theta_{} \right| = \tan^{-1} \left( \frac{ M_{1} \sim M_{2} }{ \left( M_{1}+M_{2} \right) } \right) $$
What it this "$~ \sim ~$"? misprint? Or a new conception for me? How should I interpret it ?
Moreover, I've been confused of bars of $~ \theta_{} ~$ . How do I interpret it?
p.s
I have to go to bed in 10 minutes.
$$ \tan \left( -\theta_{} \right) =-\tan \left( \theta_{} \right) $$
$$ \tan \left( \theta_{} \right) =\frac{ M_{1}-M_{2} }{ M_{1}+ M_{ 2 } } $$
$$ \therefore ~~ \theta_{} = \tan^{-1} \left( \frac{ M_{ 1 } -M_{ 2 } }{ M_{ 1 } +M_{ 2 } } \right) $$
$$ \theta_{} = \begin{cases} \tan^{-1} \left( \frac{ M_{ 1 } -M_{ 2 } }{ M_{ 1 } +M_{ 2 } } \right) &~ \left( M_{ 1 } \geq M_{ 2 } \right) \\\\ \tan^{-1} \left( \frac{ -\left| M_{ 1 } -M_{ 2 } \right| }{ M_{ 1 }+ M_{ 2 } } \right) &~ \left( M_{ 1 } \leq M_{ 2 } \right) \end{cases} $$
$$ = \begin{cases} \tan^{-1} \left( \frac{ \left| M_{ 1 } -M_{ 2 } \right| }{ M_{ 1 } +M_{ 2 } } \right) &~ \left( M_{ 1 } \geq M_{ 2 } \right) \\\\ \tan^{-1} \left( \frac{ -\left| M_{ 1 } -M_{ 2 } \right| }{ M_{ 1 }+ M_{ 2 } } \right) &~ \left( M_{ 1 } \leq M_{ 2 } \right) \end{cases} $$
$$ = \begin{cases} \tan^{-1} \left( \frac{ \left| M_{ 1 } -M_{ 2 } \right| }{ M_{ 1 } +M_{ 2 } } \right) &~ \left( M_{ 1 } \geq M_{ 2 } \right) \\\\ -\tan^{-1} \left( \frac{ \left| M_{ 1 } -M_{ 2 } \right| }{ M_{ 1 }+ M_{ 2 } } \right) &~ \left( M_{ 1 } \leq M_{ 2 } \right) \end{cases} $$
$$ = \pm \tan^{-1} \left( \frac{ \left| M_{ 1 } -M_{ 2 } \right| }{ M_{ 1 } + M_{ 2 } } \right) $$
$$ \therefore ~~ \left| \theta_{} \right| =\tan^{-1} \left( \frac{ \left| M_{ 1 } -M_{ 2 } \right| }{ M_{ 1 } + M_{ 2 } } \right) $$