Curvature flow for convex planes curves

Question

Tentative translation of the original question. I've read several articles on the curvature flow for convex plane curves (the curve remains convex during evolution, and eventually shrinks to a point). I found this result interesting but couldn't relate it to a real life phenomenon. Does anyone know of a real phenomenon which could shed some light on this result?

Original question. Bonsoir mes amis, j'ai lu plusieurs articles sur le flot de courbure pour le cas des courbes convexes planes (pendant l’évolution la courbe reste convexe et tend vers un point à la limite), je l'ai trouvé très intéressant mais je n'ai pas pu appliquer un exemple dans notre vie pratique ou un certain phénomène déroulant dans la nature qui explique ce flot et cette évolution. Est-ce que quelqu'un a une idée d'un certain exemple ou phénomène réel qui explique ce résultat ??

Answer 1

It's not about plane curves, but here's an example.

In 1974, Firey introduced a model to describe the evolution of a stone submitted to abrasive processes (itself a step on the very old question of understanding the shape of pebbles). The model boils down to a (Gauss) curvature flow. In 1999, Ben Andrews proved the 2D equivalent of the evolution result you quoted: under the curvature flow, every (strictly) convex surface remains convex and (after rescaling) converges to a sphere.

So, in a way, the evolution of pebbles is a real life phenomenon related to curvature flows.

You can find more information on this kind of questions in chapter VII of Marcel Berger's Geometry Revealed.

VF. Voici un élément de réponse, qui ne concerne cependant pas les courbes planes.

En 1974, Firey introduisit un modèle pour décrire l'évolution d'une pierre soumise à l'abrasion (ce qui est une étape vers la compréhension de la forme des galets, une question remontant à la plus haute Antiquité). Le modèle n'est rien d'autre qu'un flot de courbure (de Gauss). En 1999, Ben Andrews a démontré l'équivalent bidimensionnel du résultat que tu as cité : sous le flot de courbure, les surfaces strictement convexes restent strictement convexes et convergent (modulo renormalisation) vers la sphère.

Ainsi, la formation des galets est un exemple de phénomène de la Vie Réelle™ lié aux flots de courbure.

Tu trouveras plus d'information à ce sujet au chapitre VII du (magnifique) Géométrie vivante de Marcel Berger.

Answer 2

The physical model underlying these works is of a rubber band in molasses. I believe that Matt Grayson explains it this way in his paper solving Hamilton's curve flow conjecture.

To be precise, first imagine that the rubber band is entirely constrained from moving, by infinitely thick molasses. The force field along the rubber band that is generated by the rubber band's own tension is identical to the curvature vector field. Now, allowing infinitesmal motion of the rubber band by reducing the thickness from infinite to $1 / \text{infinitesmal}$, the actual derivative of the motion of the rubber band is exactly the motion of the curvature flow.