In Über analytische Funktionen und die Verteilung von Zahlen mod. eins; Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg v. 1, pp. 54–76, 1922,
Hecke says it is a well-known result that
$\lim_{r \rightarrow 1}(1-r)\sum_{m=1}^\infty c_m r^m = \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{t}\sum_{m=1}^t c_m$
How do you prove that?