tengo una tarea en un curso de grupos de Lie, en la cual debo demostrar que $(\pi_m,\mathbb{C}_m[x,y])$ son las únicas representaciones irreducibles de dimension finita en $SL(2,\mathbb{R})$. Donde $\mathbb{C}_m[x,y]$, es el espacio vectorial de los polinomios homogéneos, y $\pi_m(g)$ actúa de la forma $\pi_m(g)f(x,y)=f((x,y)\cdot g)$.
Calcular los caracteres no fue muy complicado, tomando la base $\{p_k: 0\leq k\leq n\}$ con $p_k=x^ky^{n-k}$ pues $\pi_m(\exp(H))p_k=\exp(d\pi_m(H))p_k=\exp(2k-n)p_k$, pero la pregunta es como podría definir un producto interior entre estas matrices; pues no tengo la forma de volumen de $SL(2,\mathbb{R})$, para definir la integral $\langle f,g\rangle=\int f(z)\cdot\overline{g(z)}dz$.
Podría alguien por favor traducir la pregunta? Gracias